Cas de deux vecteurs orthogonaux

Définition

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan et \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{\text{AC}}\). 
On dit que les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si les droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) sont perpendiculaires.

Remarque

Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

Propriété

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v}=0.\)

Démonstration

Si l'un des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est nul, l'équivalence est évidente.
Supposons les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) tous deux non nuls, et soit \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) trois points du plan tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{\text{AC}}\).
\(\vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}}=0\)
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}=0} \Leftrightarrow \Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{AC}}\Vert \times \cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)=0\)
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}=0} \Leftrightarrow\cos\left(\widehat{\text{BAC}}\right)=0\) car \(\Vert \overrightarrow{\text{AB}}\Vert \neq 0\) et \(\Vert \overrightarrow{\text{AC}}\Vert \neq 0\) 
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}=0} \Leftrightarrow\) L'angle \(\widehat{\text{BAC}}\) est droit.
\(\hphantom{\vec{u} \cdot \vec{v}=0} \Leftrightarrow\) Les droites \((\text{AB})\) et \((\text{AC})\) sont perpendiculaires.